MODUL
KALKULUS
Disusun
Dairoh, M.Sc
D-IV TEKNIK
INFORMATIKA
POLITEKNIK HARAPAN
BERSAMA
TEGAL
2014
DAFTAR ISI
BAB I.
PERTIDAKSAMAAN
1.
Definisi
Pertidaksamaan
2.
Sifat-sifat
Pertidaksamaan
3.
Jenis
Pertidaksamaan
4.
Aplikasi
dan contoh soal Pertidaksamaan
BAB II FUNGSI
KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
1.
Konsep fungsi komposisi
2.
Pengertian fungsi komposisi
3.
Sifat – sifat komposisi fungsi
4.
Konsep fungsi invers
5.
Pengertian fungsi invers
6.
Aplikasi fungsi komposisi dan fungsi invers
7.
Contoh soal fungsi komposisi dan fungsi
invers
BAB III FUNGSI LIMIT
1.
Pengertian limit
2.
Limit fungsi Aljabar
3.
Limit fungsi Trigonometri
BAB
IV TURUNAN DAN APLIKASINYA
1.
Konsep turunan
2.
Pengertian turunan dan notasi turunan
3.
Rumus
turunan fungsi aljabar
4.
Rumus turunan fungsi trigonometri
BAB
V INTEGRAL
1.
Konsep integral
2.
Integral tak Tertentu
3.
integral tertentu
4.
integral subtitusi
5.
Integral Parsial
BAB IX
DERET
TAYLOR
1.
Konsep dasar deret taylor
1.
Teorema deret taylor
2.
Aplikasi deret taylor
BAB X DERET
FOURIER
1.
Konsep deret fourier
2.
Deret fourier periode T=2π
3.
Ekspansi deret fourier
4.
Menentukan koefisien deret fourier
BAB XI
PERSAMAAN
INTEGRAL
1.
Konsep persamaan integral
2.
Definsi persamaan integral
3.
Aplikasi persamaan integral
BAB XII
TRANSFORMASI FOURIER
1.
Konsep transformasi fourier
2.
Menentukan transformasi fourier
3.
Menghitung transformasi fourier
4.
Aplikasi transformasi fourier
BAB
I
PERTIDAKSAMAAN
1.
Definisi Pertidaksamaan
Sebuah Pertidaksamaan adalah pernyataan bahwa dua kuantitas tidak setara
nilainya. Salah satu pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau
lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda ketidaksamaan, yaitu: <, >, ≤,
atau ≥.
2.
Sifat-sifat pertidaksamaan antara lain:
(i)
Jika
a > b dan b > c, maka a > c
(ii)
(ii)
Jika a > b, maka a + c > b + c
(iii)
(iii) Jika a > b, maka a - c > b – c
(iv)
(iv)
Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc
(v)
(v)
Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc
Dengan mengganti tanda > pada
sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka akan didapat sifat-sifat yang analog
sebagai berikut :
(vi)
Jika a < b dan b < c, maka a < c
(vii)
Jika a < b, maka a + c < b + c
(viii)
Jika a < b, maka a - c < b – c
(ix)
Jika a < b dan c adalah bilangan positif,
maka ac < bc
(x)
Jika a < b dan c adalah bilangan negatif,
maka ac > bc
(xi)
xi) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau
jika a < 0 dan c < 0
(xii)
(xii) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau
jika a > 0 dan c < 0
(xiii)
(xiii) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau
jika a < 0 dan c < 0
(xiv)
(xiv) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau
jika a > 0 dan c < 0
(xv)
(xv) Jika a > b, maka –a < -b
(xvi)
(xvi) Jika 1/a < 1/b, maka a > b
(xvii)
(xvii)
Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)
(xviii)
(xviii)
Jika a > b > c, maka b < a atau b > c ( bentuk komposit)
3. Jenis
pertidaksamaan
Jenis pertidaksamaan anatara laian :
a.
Peridaksamaan
linear (PANGKAT SATU)
b.
Pertidaksamaan
kuadrat
c.
Pertidaksamaan
bentuk pecahan
a.
Pertidaksamaan
bentuk nilai mutlak ( modus)
a. Peridaksamaan
linear (PANGKAT SATU)
Pertidaksamaan
linear adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung
bentuk linier dalam x. yang vareabelnya berderajat satu dengan menggunakan
tanda hubung “lebih besar dari” atau “kurang dari”
Sifat-sifatnya
:
·
Kedua
ruas dapat di tambah atau di kurangi dengan bilangan yang sama.
·
Kedua
ruas dapat dapat dikali atau di bagi dengan bilangan positip yang sama.
·
Kedua
ruas dapat di bagi atau di kali dengan bilangan negatip yang sama maka
penyelesaiannya tidak berubah asal saja arah dari tanda pertidaksamaan di balik
Langkah – langkah menyelesaikan
pertidaksamaan linier :
1.
Pindahkan semua yang mengandung variabel ke ruas kiri,
sedangkan yang tidak mengandung variabel ke ruas kanan.
2.
Kemudian sederhanakan
Perhatikan contoh soal berikut:
1. Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan 5x – 5 < 7x + 3 !
Jawab
5x – 5 < 7x +
3
5x – 7x < 3 + 5
- 2x < 8
x > - 4
2.
Tentukan
nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan 2(x-3) < 4x+8 ?
Jawab
Penyelesaian
2(x-3) < 4x+8
2x - 6 < 4x+8
2x – 4x< 6+8
-2x < 14
X >
-7
3.
Tentukan
nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2x
-
Jawab
Penyelesaian :
a. Pertidaksamaan
Kuadrat
Pertidaksamaan
kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum peridaksamaan kuadrat
adalah ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a
0.
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat anatara
lain:
•
Jadikan
ruas kanan = 0
•
Jadikan
koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
•
Uraikan
ruas kiri atas faktor-faktor linier.
•
Tetapkan
nilai-nilai nolnya
•
Tetapkan
tanda-tanda pada garis bilangan
•
Jawaban
didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
¨ Langkah-langkah:
¤ Tentukan batas-batasnya dengan mengubah
ke dalam persamaan kuadrat
¤ Buatlah garis bilangan dan masukkan
batas yang diperoleh (jika ada) dengan batas yang kecil di sebelah kiri
¤ Uji titik pada masing-masing daerah
¤ Tentukan HP nya
Contoh soal
Karena yang diminta ≥ 0 maka yang
memenuhi adalah yang bertanda positip Sehingga HP nya adalah {x | x ≤ -2 atau x
≥ 4}
a.
Pertidaksamaan bentuk pecahan
pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya
mengandung variabel x.
Langkah – langkah
menyelesaikan pertidaksamaan pecahan :
·
Pindahkan
semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
·
Sederhanakan ruas kiri.
·
Ubah bentuk
menjadi a.b
·
Tentukan pembuat nol ruas kiri.
·
Tuliskan nilai – nilai tersebut pada garis bilangan.
·
Berikan tanda pada setiap interval.
·
Samakan
penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
·
Selanjutnya,
sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan
0
Perhatikan
Contoh soal :
a. Pertidaksamaan
Nilai Mutlak
Merupakan
pertidaksamaan dimana variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Indikator :
Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear yang memuat nilai mutlak
Cara mencari
penyelesaian pertidaksamaan nilai
mutlak adalah dengan menggunakan sifat berikut ini :
·
·
·
Perhatikan
contoh berikut:
Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan
!
Jawab
3x + 2 < -
5 atau 3x + 2 > 5
3x < - 7 3x > 3
x < -7/3 x > 1
Latihan Soal.
1. Tentukan himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan 3 + 6x > 3x – 9?
2. Tentukan himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan 3(2 - 3x) > -5x + 8 !
3. Tentukan himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan
!
4. himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan ( x + 5 ) x
2 ( x2
+2 ) !
5. Tentukan himpunan
penyelesaian pertidaksamaan
!
6.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
!
BAB
II
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
1.
Konsep
fungsi
Fungsi
atau Pemetaan merupakan Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi
atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan
tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.f adalah suatu fungsi dari
himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan f : A à B
Operasi
dalam Fungsi :
n Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x)
n Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x)
n Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x)
n Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x)
Silahkan Download Materi Lengkapnya Di :
Tidak ada komentar:
Posting Komentar